diff --git a/Sandbox.md b/Sandbox.md new file mode 100644 index 0000000..f526f49 --- /dev/null +++ b/Sandbox.md @@ -0,0 +1,49 @@ +--- +title: Sandbox +description: +published: true +date: 2020-09-22T08:57:45.548Z +tags: +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-22T08:29:08.474Z +--- + +# Sandbox + +## testtesttest + +### dff + +#### 44444 + +##### 55555 + +test things + +---- + +```python +def fac(n): + if n == 1: return 1 + else: return n*fac(n-1) +``` + +`\frac{5, 4}` + +> Comments here! + +- [ ] An empty todo +- [x] finished + +```kroki +graphviz + +digraph { + A -> B; + B -> C; +} +``` + +## Katex + +$$\frac5 4 + \frac3 6 = \frac{21}{12}$$ \ No newline at end of file diff --git a/home.md b/home.md new file mode 100644 index 0000000..e80d221 --- /dev/null +++ b/home.md @@ -0,0 +1,13 @@ +--- +title: Welcome to My wiki +description: welcome message of my wiki +published: true +date: 2020-09-21T12:49:28.176Z +tags: +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-21T12:49:25.655Z +--- + +# Welcom to my Wiki + +Public domain \ No newline at end of file diff --git a/군(수학).md b/군(수학).md new file mode 100644 index 0000000..7ae73a7 --- /dev/null +++ b/군(수학).md @@ -0,0 +1,62 @@ +--- +title: 군(수학)(Group) +description: Group +published: true +date: 2020-09-26T14:22:04.517Z +tags: 대수 +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-22T07:04:46.800Z +--- + +# 군(Group) +군은 [집합](/집합(수학)) G과 [집합](/집합(수학)) G위에 다음과 같은 이항연산 $G \times G \rarr G$가 있는 것을 말한다: + +- 결합법칙이 성립한다. +- $\forall a \in G, ua = a = au$인 $u\in G$가 존재한다. +- $\forall a \in G, aa^{-1}=a^{-1}a=u$인 $a^{-1}\in G$가 존재한다. + +이때 $u$를 항등원(identity element)라고 부르고 $a^{-1}$을 a의 역원(inverse of a)라고 한다. +$|G|$는 $G$의 원소 수를 말하며, 군의 위수(Order)라고 부른다. + +## 군의 예 + +- 정수의 집합과 이항연산 +에 대해서, $(\Z,+)$는 군이다. +- 집합 $\{-1,1\}$과 이항연산 $\cdot$에 대해서 $(\{1,-1\},\cdot)$ 는 군이다. + +## 군의 사상(Morphism of group) + +군 $(G,\cdot)$의 사상은 군$(H,*)$에 대해 다음과 같은 조건을 만족하는 함수 $f:G\rarr H$이다. +$$f(a\cdot b)=f(a)* f(b)$$ + +## 순환군(Cyclic group) +어떤 군 $G$에 대해서, +$$\{a^n|a\in G,n \in \N\}$$ +를 순환군이라고 한다. 이때 $a$를 군의 생성원(generator)이라고 한다. + +## 부분군(Subgroup) + +[집합](/집합(수학)) $H$가 있어서, $H \subset G$이고 H가 G의 연산에 대해 군이면 H를 G의 부분군이라고 한다. +삽입사상 $i:H\rarr G$가 있다. + +## 관계로서 군의 표현과 자유군(Groups presentation as defining relation and free group) +aphabet이 있다. concat 연산이 있다.이것이 자유구.ㄴ +## 대칭군$S_n$과 교환군$A_n$ (Symmetric and Alternating groups) +$f:n\rarr n$를 원소로 가지는 군이다. (1 2 3 4 5) 라는 열이 있을 때, (2 1 3 4 5) 같이 치환하는 연산들로 이루어진것. + +$S_n/\Z_2\cong A_n$ + +## 변환군(Transformation groups) + +대칭군의 일반화. + +## 잉여(Cosets) +군의 원소 여럿을 묶기. 묶은 것으로 연산하기. +$h:G\rarr H, h \in \hom(G,H)$를 생각하자. + +## 핵과 상(Kernel and Image) +$\ker(h)=\lbrace a\in G|h(a)=0 \rbrace$ +$\text{img}(a)$ +### 정규부분군(Normal subgroup) +$g\in G,n \in N, gng^{-1}\in N$ +## 잉여군(Quotient Groups) + diff --git a/리스프.md b/리스프.md new file mode 100644 index 0000000..203773e --- /dev/null +++ b/리스프.md @@ -0,0 +1,16 @@ +--- +title: 리스프(Lisp) +description: 리스프 프로그래밍언어 +published: true +date: 2020-09-29T15:18:27.240Z +tags: +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-29T15:18:24.712Z +--- + +# 리스프 +리스프(Lisp, LISP) 혹은 리습은 프로그래밍 언어의 계열로서, 오랜 역사와 독특하게 괄호를 사용하는 문법이다. + +LISP 라는 이름 자체는 "LISt Processing"(리스트 프로세싱)의 줄임말이다. 연결 리스트는 리스프의 주요 자료구조 중 하나로서, 리스프 코드는 그 자체로 하나의 리스트이다. + +코드와 데이터가 교환이 가능하다는 것은 리스프 그 자체에 있어 코드를 즉각 해석할 수 있는 능력을 준다. 전체 프로그램 코드는 S-표현식 이나 괄호로 묶인 리스트로 작성되며, 함수 호출의 경우 함수 이름 혹은 연산자가 첫 번째로 위치하여 피연산자가 이어 위치하게 된다. 예를 들면, 함수 f 가 a, b, c 라는 세 개의 피연산자를 가진 경우는 (f a b c)와 같이 표기한다. \ No newline at end of file diff --git a/모노이드.md b/모노이드.md new file mode 100644 index 0000000..3d99776 --- /dev/null +++ b/모노이드.md @@ -0,0 +1,19 @@ +--- +title: 모노이드 +description: 수학의 모노이드 +published: true +date: 2020-09-22T12:20:16.260Z +tags: 대수 +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-22T12:20:13.496Z +--- + +# 모노이드(Monoid) +모노이드 $M$는 다음과 같은 이항연산을 가진 다음과 같은 집합 $M$을 말한다. +- 모든 $a,b,c\in M$에 대해 $a(bc)=(ab)c$ (결합법칙(Associative law)) +- $a1=1a=a$인 원소 $1\in M$이 존재한다. + +## 모노이드의 예 +## 모노이드의 사상(Morphism of monoid) +## 잉여 모노이드(Quotient monoid) +## 자유 모노이드(Free monoid) \ No newline at end of file diff --git a/모듈(수학).md b/모듈(수학).md new file mode 100644 index 0000000..8ca118b --- /dev/null +++ b/모듈(수학).md @@ -0,0 +1,33 @@ +--- +title: 모듈(Module) +description: 대수의 모듈 +published: true +date: 2020-11-06T10:44:44.161Z +tags: 대수 +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-22T11:55:35.558Z +--- + +# 모듈(Module) +$R$-모듈 $A$는 [환(Ring)](/환(수학)) $R$과 [아벨군(Abelian Group)](/아벨군) $A$위에 이항연산 $R \times A \rarr A$이 있고, 다음과 같은 [공리(Axiom)](/공리(수학))를 따르는 $A$이다. +모든 $\kappa,\lambda \in R$과 $a,b \in A$에 대해서: +$$\begin{array}{rcl}\kappa(a+b)&=&\kappa a+\kappa b,\\ (\kappa+\lambda)a&=&\kappa a+\lambda a,\\ +(\kappa \lambda)a&=& \kappa(\lambda a),\\ 1a&=&a.\end{array}$$ +좀더 명확하게, 이러한 모듈 $A$를 왼쪽 모듈(left module)이라고 한다. 왜냐하면, 식 $\kappa a$에서 스칼라$\kappa$가 모듈의 원소 $a$의 왼쪽에 쓰여졌기 때문이다. + +## 선형변환(Linear transformations) +- main article : [선형변환](/선형변환) +모듈의 사상(Homomorphism)은 선형변환이다. + +## 부분모듈(Submodules) + +## 잉여모듈(Quotient modules) + +## 자유모듈(Free modules) + +## Biproducts + +## 쌍대모듈(Dual modules) + +지금까지 다룬 것은 스칼라가 왼쪽에 붙은 left module이다. right module은 스칼라가 오르쪽에 붙는다. +쌍대 모듈은 \ No newline at end of file diff --git a/벡터공간.md b/벡터공간.md new file mode 100644 index 0000000..2bbe1d2 --- /dev/null +++ b/벡터공간.md @@ -0,0 +1,329 @@ +--- +title: 벡터공간(Vector space) +description: 벡터공간 +published: true +date: 2020-10-24T14:41:55.900Z +tags: 선형대수, 대수 +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-22T11:33:05.470Z +--- + +# 벡터공간(Vector space) +벡터공간은 체 $F$위의 [모듈(Module)](/모듈(수학))이다. + +어떤 벡터 리스트 $\textbf v=( v_1,v_2,\cdots, v_n)$가 있으면, 벡터 리스트를 의 일차결합을 생각할 수 있다. + +$$a_1 v_1+a_2 v_2+\cdots+a_n v_n = \sum a_i v_i$$ + +이러한 일차 결합을 선형조합이라고 한다. + +## 기저와 좌표(bases and corddinates) + +어떤 벡터 $w$를 벡터 리스트 $\textbf v$에 대해서 $w=\sum{v_n\xi_n}$ 로서 $\xi_n$으로 표현할 때, +그 리스트 $\textbf v$가 공간 $V$를 생성(span)한다는 것은 $\xi_i$으로 **적어도** 한가지로 표현한다는 것이고, +리스트 $\textbf v$가 공간 $V$의 기저(basis)라는 것은 $\xi_i$으로 **정확히** 한가지로만 표현된다는 것이고, +리스트 $\textbf v$가 공간 $V$에 선형독립(linearly independent)라는 것은 $\xi_i$으로 **최대** 한가지로 표현된다는 것이다. +가장 마지막의 선형 독립에 대한 조건을 바꾸어보면, +$$\begin{alignedat}{2} + \sum v_i \xi_i&=\sum v_i\eta_i &\Rightarrow \xi_i=\eta_i\\ + \sum v_i(\xi_i-\eta_i)&=0 &\Rightarrow \xi_i -\eta_i=0\\ +\sum v_i\lambda_i&=0 &\Rightarrow \lambda_i=0\\ +\end{alignedat}\\ +$$ +으로 영벡터에 대하여 유일하게 모두 계수가 0으로만 표현된어야 한다는 것을 의미한다. + +### Proposition 1 +$L_{\textbf v}:F^n\rightarrow V$, $L_{\textbf v}(\xi)=v_1\xi_1+\dots+v_n\xi_n$ +이란 함수를 정의하면, + +- 리스트 $\textbf v$ 가 공간 $V$를 생성(span)한다 $\Leftrightarrow$ $L_{\textbf v}$ 는 epimorphism이다. +- 리스트 $\textbf v$가 $V$에서 선형독립(lineary independence)이다 $\Leftrightarrow$ $L_{\textbf v}$는 monomorphism이다. +- 리스트 $\textbf v$가 $V$의 기저(basis)이다. $\Leftrightarrow$ $L_{\textbf v}$는 isomorphism이다. +#### 증명 +단순하게 $L_{\textbf v}$는 선형조합이므로 [선형변환](/선형변환)이다. 자세하게는 리스트 ${\bf \xi, \eta}$에 대해서, +$$L_{\textbf{v}}({\bf \xi + \eta})=\sum_i v_i(\xi_i+\eta_i)=\sum_iv_i\xi_i+\sum_iv_i\eta_i=L_{\textbf{v}}({\bf \xi})+L_{\bf v}(\eta)$$ +이고, 스칼라 $\kappa$에 대해, +$$L_{\textbf{v}}({\bf \xi}\kappa)=\sum_iv_i(\xi_i\kappa)=\sum_i(v_i\xi_i)\kappa=L_{\textbf{v}}({\bf \xi})\kappa$$ +이므로 선형변환이다. +$L_{\textbf v}$가 공간 $V$를 생성한다는 것은 어떤 벡터 $w$에 대해서, $L_{\textbf v}(\xi)=w$인 $\xi$가 있다는 것이므로, epimorphism이다. 비슷하게 선형독립이란 것은 monomorphism이고, 기저라는 것은 isomorhpism이다. + +이로부터 좌표(Coordinate)를 정의할 수 있다. + +### 좌표(Coordinate) +기저(basis) $\bf b$ 가 있어 $v=b_i\xi_i+\cdots b_n\xi_n$ 이면, +$\xi_n$는 기저가 $\bf b$인 $v$의 좌표(coordinates of $\bf v$ relative to a basis $b$)이다. +이때 리스트 $\textbf b: n\rightarrow V$는 벡터공간 $V$의 기저(basis)이다. + +### Theorem 2. +주장 1(Proposition 1)에서 $L_b:F^n\cong V$임으로, $F^n$는 [자유모듈](/모듈(수학)#자유모듈free-modules)(free module)이다. 그러므로 $L_b(\epsilon_i)=b(i)$라고 할 수 있다. + +기저(basis)가 $b$인 벡터공간(vector space) $V$은 $b$의 벡터들이 자유생성원(free generator)인 자유 F-모듈(free F-module)이다. + +### Proposition 3 +벡터 리스트가 선형종속(linearly dependent) 할때 생성원 하나 줄이면: +$v_k=v_i(-\xi_1\xi_k^{-1})+\cdots+v_{k-1}(-\xi_{k-1}\xi_k^{-1})$ +그에 따른 결과로 +#### Corollary +유한한 종류의 벡터공간은 기저를 가진다. +나눔환(division ring)에서도 성립한다. + +## 차원(Dimention) + +### THEOREM 4 + +같은 벡터공간 $V$에서 선형 독립 $m$ 벡터 리스트 $\bf{v}$있을 때, 벡터공간 $V$을 생성(span)하는 어떤 $n$ 벡터 리스트든지 $n\geq m$이다. 더 나아가, $\bf{v}$를 포함하는 $n$ 벡터 리스트는 $V$를 생성(span)할 수 있다. + +증명 : 수학적 귀납법 사용하자. + +$m=0$일 때, 결과는 자명하다. + +$m=m$일 때, $m$ 독립 벡터의 모든 리스트에 대해 성립한다고 가정하자. +이제 $\bf{v}$가 $m+1$ 선형독립벡터 리스트라고 하자. +귀납 가정에 의해서, +$(v_1,v_2,\cdots ,v_m,w_1,\cdots,w_{n-m})$ 는 $V$를 생성한다. +그러면 $v_{m+1}$도 생성 가능하다. + +$$\tag{3} v_{m+1} = v_1\xi_1+\cdots +v_m\xi_m+w_1\eta_1,\cdots,w_{n-m}$$ + +만약 $m=n$ 이면, $w_i$는 없고 그럼 $v_{m+1}$이 $v_1,\cdots,v_m$에 대해 표현되니 $v_1,\cdots,v_m,v_{m+1}$이 선형독립이라는 가설에 모순. 그래서 $m+1 \leq n$ 이다. + +Adjoint $v_{m+1}$. + +$(v_1,v_2,\cdots ,v_m,v_{m+1},w_1,\cdots,w_{n-m})$ + +이것도 여전히 $V$를 생성한다. + +위의 (3)에 의해 선형 종속이다. + +Proposition 3에 의해서 벡터 하나를 뺄 수 있다. + +$v_1,\cdots,v_{m+1}$이 선형독립이기에 $w$에서 뺼 수 있다. + +빠지는 벡터를 $w_j$라 하면, + +$(v_1,v_2,\cdots ,v_m,w_1,\cdots,w_{j-1},w_{j+1},\cdots,w_{n-m})$ + +여전히 $V$ 생성한다 그리고 containing the whole list $V$. + +수학적 귀납법 끝. 증명 끝. + +#### Corollary 1 Invariance of Dimension + +유한 타입의 벡터 공간 $V$의 아무 두 기저는 같은 수의 기저를 가지고 있다. + +증명 : $(b_1,b_2,\cdots ,b_m)$와 $(c_1,c_2,\cdots ,c_n)$를 두 $m$ 벡터 기저와 $n$ 벡터 기저라고 하자. 그러면, + +|선형독립|$V$를 생성||결론| +|:---|:---:|---:|---| +|$b$|$c$|implies|$m\leq n$| +|$c$|$b$|implies|$n\leq m$| + +그래서 $n=m$이다. 증명 끝. + +$V$의 기저의 벡터의 개수를 차원(dimension)이라고 부르고, $\dim V=n$이라고 표기한다. $\dim V$가 무한이라는 것의 의미는 $V$가 유한한 기저를 가지고 있지 않다는 것이다. 이 정의에 의해 $\dim F^n=n$ 이다. 유한한 타입의 벡터공간을 유한차원 벡터공간이라고 부른다. + +#### Corollary 2 + +$n$ 차원 벡터공간 $V$에서 + +- (i) 아무 $V$의 $n+1$ 벡터들의 리스트는 선형종속이다. +- (ii) $V$를 생성하는 $n-1$ 벡터들의 리스트는 없다. + +--- +### Theorem 5 + +In a 유한 차원 벡터 공간 $V$: + +- (i) 어떤 선형독립 벡터들 리스트를 잡든 그것은 기저의 일부분이다. +- (ii) $V$를 생성하는 벡터들 리스트는 기저를 포함한다. + +증명 : To prove (ii), Apply reduction process in proposition 3. + +As for(i), find the list of vectors spanning $V$, which must exist. + +Apply reduction process in theorem 4. + +### Corollary + +$n$ 차원 벡터공간 $V$에서 + +- (i) 아무 $V$의 $n$ 선형독립벡터들의 리스트는 기저이다. +- (ii) $V$를 생성하는 $n$ 벡터들의 리스트는 기저이다. + +증명: For(i), $v$가 $n$ 선형독립벡터 리스트라고 하자. + +그럼 $v$는 기저의 일부분이다. + +기저는 $n$개의 원소인데. (ii)도 비슷하다. + +### Proposition 6. 아무 codomain이 유한차원 $V'$인 monomorphism $s:V\rightarrow V'$는 linear left inverse를 가진다. 아무 codomain이 유한 차원 $V$인 epimorhpism $V\rightarrow V'$도 linear right inverse를 가진다. + +증명 : $V$가 $m$ 차원이고 $V'$이 $n$ 차원이라 하자. + +s가 monomorphism 이니까 $V$에서 선형독립이면 $V'$에서 선형독립이고 $m\leq n$ 이다. + +$V$에서 $m$ 벡터의 기저 $\bf b$를 고르자. + +그럼 $s({\bf b})$도 $V'$에서 선형독립이다. + +$V'$에서 $s(\bf b)$를 포함한 기저를 만들고 $(s(b_1),s(b_2),\cdots,s(b_m),b'_{m+1},\cdots,b'_n)$ 이라고 지칭하자. + +이것은 free $F$-module $V'$ 의 free generator list 이므로 + +선형 사상 $t:V'\rightarrow V$ : +$$\begin{cases} +t(s(b_i))=b_i &\text{for }i\in \bf{m}\\ +t(b'_j)=0 &\text{for each } i = m+1,\cdots,n +\end{cases}$$ + 를 정의할 수 있다. + +그래서 $(t\circ s)(b_i)=b_i$, + +그러므로 $t\circ s$ 는 무조건 identity $V\rightarrow V$ 이니 $t$ 는 left inverse 다. + +두번째 epimorphism 은 spanned 가지고 비슷하게 하면 된다. + +## 기저로 만들기(Construction for bases) + +### Proposition 7 + +$S$ 가 유한차원벡터공간 $V$의 부분공간(subspace)면, +각각의 $S$의 기저는 V 기저의 일부분이다. +그래서, $\dim S \le \dim V$; 더욱이, $\dim S \lt \dim V$ 이면 $S$는 $V$의 진부분공간(proper subspace)이다. + +Proof: $S$에서 선형독립 벡터리스트는 $V$에서도 선형독립이다. +$V$에서 선형독립인 벡터 리스트는 Theorem 5에 의해 기저의 일부분이다. +더나아가, $S$의 기저는 $V$의 모든 벡터들이 $S$안에 있을때, 전체공간 $V$의 기저이다. + +Combine 기저 v, w +$$v\vee w=(v_1,\cdots,v_m,w_1,\cdots,w_r)$$ + +### Theorem 8 + +만약 $t:V \rightarrow V'$가 유한차원정의역의 선형번환이면, + +$$\dim V = \dim (\text{Ker}\;t)+\dim (\text{Im}\;t)\qquad(10)$$ + +더 자세하게는 $\text{Ker}\;\bf t$의 기저 $v$가 $V$의 기저 $\bf v\vee w$의 일부분이면, $t\circ {\bf w}$는 $\text{Im}\;t$의 기저이다. + +증명 : Think proposition 7 + +$\bf v\vee w$에서 $v\in V$를 선형조합으로 나타내면, + +$$v=\sum v_i\xi_i+\sum w_j\eta_j\qquad(t(v_i)=0)$$ + +로 나타낼수 있다. + +$t(v)=\sum t(w_j)\eta_j$ 니까 $\bf w$는 $\text{Im}\;t$를 생성한다. + +반면에, $\sum (tw_j)\eta_j=0 \Leftrightarrow t(\sum w_j\eta_j)=0$ 이면 kernel. + +so, $\sum w_j\eta_j=\sum v_i\xi_i$인데 그러나 $\bf v\vee w$는 선형독립. 그래서 기저 $\bf v$는 선형독립. 선형독립이고 $\text{Im }V$ 생성하니 기저. 증명 끝. + + +$\text{rank }t=\dim(\text{Im }t), \text{nullity }t=\dim(\text{Ker t})$ + +(10) states that "rank plus nullity equals dimension of domain." +Sometimes $\text{Ker }t$ is called the "nullspace", and $\text{Im }t$ the "range" of t. + +#### Corollary 1. 두 벡터 공간 $V$와 $V'$이 각각의 유한차원 $n$과 $n'$을 가지고 있으면 선형사상 $t:V\rightarrow V'$의 $\text{rank }r$은 기껏해야 최대 $n$과 $n'$ 작은 것 이다. + +For each such map $t$, there is a basis $b$ of $V$ and a basis $b'$ of $V'$ such that + +$$tb_1=b',\cdots,tb_r=b_r',tb_{r+1}=0,\cdots,tb_n=0$$ + +#### Corollary 2. $V$와 $V'$가 같은 유한차원의 벡터공간이라 하자. 아무 epimorphism t 나 아무 monomorphism t는 isomorphism 이다. + +Proof: + +$\dim \text{Im }t=n$ 라는 것은 $\dim \text{Ker }t=0$ 이란 것이고 그러면 morphism $t$는 isomorphism 이다. +반대로, $\dim \text{Ker }t=0$ 라는 것은 $\dim \text{Im }t=n$ 이란 것이고 그러면 역시 morphism $t$ 가 isomorphism 이다. + +#### Corollary 3. $\dim (V/S)=\dim V-\dim S$ + +#### Corollary 4. + +$S$가 $V$의 부분공간이면 $V$의 direct summand고, $V$의 부분공간 $T$가 존재해서 $S+T=V$이고 $S\cap V=0$ 이다. 더더욱, $T\cong V/S$ 이다. + +--- + +### Proposition 9 + +만약 벡터공간 W는 두 유한차원 부분공간 $V_1$과 $V_2$의 직합이면, $V_1$의 기저 $b'$ 와 $V_2$의 기저 $b''$에 대해 $b'\vee b''$는 $W$의 기저이다. 그런 이유로 $W$는 유한차원이고 $\dim W = \dim V_1 + \dim V_2$ + +$V_1\oplus V_2$ 가 직합(direct sum)이라고 하자. 그러면, + +#### Corollary 1. $\dim(V_1\oplus V_2)=\dim V_1+\dim V_2$ + +#### Corollary 2. $\dim(S+T)=\dim S+\dim T - \dim(S\cap T)$ + +proof: + +$$\begin{aligned}\\ +\dim(S+T)&=\dim ((S+T)/(S\cap T)) + \dim(S\cap T)\\ +&=\dim (S/(S\cap T))+\dim (T/(S\cap T))+ \dim(S\cap T)\\ +&=\dim S+\dim T - \dim(S\cap T) +\end{aligned}$$ + +### Proposition 3 + +$\dim(V^{\bf m})=m\dim V \qquad(15)$ + +증명:m=1, (15) is immediate. +assume (15) for some m. +$V^{\bf m+1}$ is $f:{\bf m+1}\rightarrow V$ + +assigned to $(f',f(m+1))$ + +$V^{\bf m+1}\cong V^{\bf m}\oplus V$ + +#### Corollary $\dim[\text{Hom}(V,V')]=(\dim V)(\dim V')$ + +proof: $\text{Hom}(V,V')\cong(V')^n\qquad n=\dim V$. + +## 쌍대로 묶인 벡터공간(Dually paired vector space) +벡터 공간 $V$를 right $F$-Module 로 보면, 그 쌍대(dual)은 left $F$-Module로 볼 수 있는 $V^* = \text{Hom}_F(V,F)$ 이다. + +$f \in V^*$에 대해 생각해보자. +$$\begin{aligned} +f(v)&=f(b_1\xi_1+\cdots+b_n\xi_n)\\ + &=f(b_1)\xi_1+\cdots+f(b_n)\xi_n +\end{aligned}$$ +이니까 $f$는 $fb_1, \cdots,fb_n$에 의해 유일하게 결정된다. +$f\mapsto f\cdot \bf{b}$ 인 morphism을 생각하면 isomorphism 이다.($f:V\rightarrow F, f\cdot {\bf b} : F^{n} \rightarrow F$) +$$\begin{aligned} +\delta_{ij} &= 1 \text{ for } i=j\\ +&=0 \text{ for }i\neq j +\end{aligned}$$ +를 크로네커 델타 기호라 부른다. + +$fb_i=\lambda_i$라 하면, $f$는 $\lambda_i$에 대해 유일하게 결정된다. + +$x_i\cdot b_j = \delta_{ij}$ 인 $x_i$를 잡으면 + +$f = \sum\lambda_ix_i$ 라고 할수 있다. + +그럼 $x_1\cdots x_n$ 는 기저이다. + +이 결과로 당연히 $\dim V^*=n$이다. + +### Lemma 1. 0이 아닌 linear form $f \in V$에 대해서 적어도 $f(v)=1$ 인 $v$가 존재한다. + +증명 : 이것은 자명하다. $f \ne 0$ 이면, $f(u)\ne 0$ 인 어떤 벡터 $u$가 존재한다. 그러면 적당한 역원을 곱해서 $f(v)=1$ 인 벡터를 얻을 수 있다. + +### Lemma 2. 0이 아닌 유한차원벡터공간의 벡터 $u$ 에 대해서, 적어도 $f(u)=1$인 linear form이 존재한다. + +증명 : $u\ne 0$이면, u는 선형 독립이므로, $V$ 기저의 일부분이다. +f 를 그 기저의 dual 기저로 잡으면 된다. + +$f\in V^*$ 는 변수 $v$에 대해서 $v\mapsto f(v)$로 정의된다. 만약에 $v$를 고정하고 $f$를 변수라고 생각하면, $f\mapsto f(v)$는 $V^*\rightarrow F$ 인 함수가 된다. + +이 함수에게 $\omega(v):V^*\rightarrow F$라고 이름 붙여주자. 그럼 $\omega$는 $V\rightarrow V^{**}$ 로 대응되는 함수이다. + +### Corollary 3. 모든 유한차원 벡터공간 $V$는 자기 자신의 이중 dual $V^{**}$와 $(\omega v)(f)=f(v)$로 정의된 morphism $\omega$의해 동형이다. + +증명 : $\omega$가 선형인건 자명하다. Lemma 2는 $\text{Ker}(\omega) = 0$임을 보인다. ($V^{**}$에서 0은 $\omega({\bf 0})$이다.) 그리고 $\dim V=\dim V^*=\dim V^{**}$이니까, $\omega$는 동형사상이다. + +$V\cong V^*$는 기저를 정하고 동형사상을 만들었던 반면에,사상 $\omega: V \rightarrow V^{**}$는 어떤 기저에 대한 언급 없이 정의 되었다. 이러한 $\omega$를 natural map 이라고 함. + +Anihilator \ No newline at end of file diff --git a/선형대수.md b/선형대수.md new file mode 100644 index 0000000..b617e0b --- /dev/null +++ b/선형대수.md @@ -0,0 +1,42 @@ +--- +title: 선형대수학 +description: 선형대수학 +published: true +date: 2020-09-22T11:55:39.992Z +tags: 선형대수, 대수, linear algebra, mathmatics +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-21T13:09:09.265Z +--- + +# 선형대수(linear algebra) + +선형대수는 $a_1x+\cdots+a_nx=b$ 같은 일차식과 [선형변환](/선형변환)에 대해서 다루는 수학의 한 갈래이다. +선형대수는 다음과 같은 내용을 포함한다. + +## 벡터공간(vector space) +- main article : [벡터공간](/벡터공간) + +현대적으로 선형대수학은 벡터공간 V에 대해서 다루어진다. 벡터공간은 단순히 [체](/체(수학)) $F$위의 [모듈](/모듈(수학))이다. +구체적으로는, 스칼라들의 [체](/체(수학)) $F$상에서의 집합 $V=\lbrace (a_1,a_2,\cdots,a_n): a_i \in F \rbrace$ 에 아래 두 개의 이항연산이 정의되고 이 연산들과 함께 $V$의 성분들이 2개의 기본 조건과 8가지의 연산법칙을 만족하면 $V$가 주어진 벡터의 덧셈 및 스칼라배 연산 과 함께 [벡터공간](/벡터공간)을 이룬다고 하고 $(V,+,\cdot)$를 벡터공간이라고 하며 그 안의 원소를 벡터라고 한다. 공리로부터 이 벡터들은 덧셈과 함께 [아벨군](/아벨군)을 형성하고 벡터에 스칼라를 곱하는 곱셈(스칼라 곱)은 아래식을 만족한다. + +$$\begin{aligned} +a(\textbf{v}+\textbf w)=a\textbf v+a \textbf w, 1\textbf v=\textbf v \\ +(a+b)\textbf v= a \textbf v+b \textbf v,(ab)\textbf v=a(b\textbf v) +\end{aligned}$$ + +이 식에서 $\textbf v$와 $\textbf w$는 공간 $V$에 속하는 벡터이고, $a,b$는 체 $F$ 에 속하는 스칼라이다. + +## 선형조합(linear combination) + +어떤 벡터 리스트 $(\textbf v_1,\textbf v_2,\cdots,\textbf v_n)$가 있으면, 벡터 리스트를 의 일차결합을 생각할 수 있다. + +$$a_1\textbf v_1+a_2\textbf v_2+\cdots+a_n\textbf v_n = \sum a_i\textbf v_i$$ + +이러한 일차 결합을 선형조합이라고 한다. +주어진 n개의 백터의 모든 일차결합에 의해 만들어지는 집합은 $V$의 부분공간(subspace)을 이룬다. 이 부분공간을 $\textbf v_1,\textbf v_2,\cdots,\textbf v_n$에 의하여 생성된(spanned) $V$의 부분공간이라고 한다. $\sum a_i\textbf v_i=0$인 일차결합에서 모든 계수가 0인 경우에만 일차결합의 값이 0이 되는 경우에, $\textbf v_1,\textbf v_2,\cdots,\textbf v_n$을 일차독립(linear independent)이라 한다. 벡터공간 $V$에 속하는 모든 벡터가 일차 독립인 $\textbf v_1,\textbf v_2,\cdots,\textbf v_n$들에 의하여 오직 한가지의 일차결합으로만 표현될 때, $\textbf v_1,\textbf v_2,\cdots,\textbf v_n$를 유한차원 벡터공간 $V$의 기저(basis)라고 한다. 기저를 이루는 벡터들은 일차독립이어야 한다. 같은 벡터공간의 두 기저벡터는 같은 수의 원소를 가지고 있는데 이 원소의 수를 그 공간의 차원, $\dim V$이라고 한다. + +## 선형변환(linear transformation or linear map) +- main article : [선형변환](/선형변환) + + + diff --git a/선형변환.md b/선형변환.md new file mode 100644 index 0000000..3447960 --- /dev/null +++ b/선형변환.md @@ -0,0 +1,25 @@ +--- +title: 선형변환 +description: linear transformation 아님 linear map +published: true +date: 2020-09-22T11:55:39.992Z +tags: 선형대수, 대수, mathmatics +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-21T13:19:14.157Z +--- + +# 선형변환 + +$$\begin{aligned} +t(\textbf v+\textbf w)&=&a\textbf v+a\textbf w \\ +t(a\textbf v)&=&at(\textbf v) \end{aligned}$$ +선형 변환이란 다음과 같이 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 변환이다. + +이 변환은 [모듈](/모듈(수학))의 [사상](/사상(수학))이다. + +## 선형성이란 +어떤 효과가 '선형적이다' 라고 말하는 것은 그 효과가 비례의 관계가 있다는 것과, 전체 효과는 부분 효과의 합으로 나타내진다는 것을 뜻한다. +## 선형변환의 예 +$R^3$에서 회전이나 평행이동, 잡아늘리는 변환, 투영이 선형변환이다. + +미분연산자와 적분연산자는 함수 공간에서의 선형변환이다. \ No newline at end of file diff --git a/스킴.md b/스킴.md new file mode 100644 index 0000000..5f130ed --- /dev/null +++ b/스킴.md @@ -0,0 +1,13 @@ +--- +title: 스킴(Scheme) +description: +published: true +date: 2020-09-29T15:18:28.556Z +tags: +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-29T05:16:23.743Z +--- + +# 스킴(Scheme) + +스킴은 [리스프(lisp)](/리스프)의 방언이다. \ No newline at end of file diff --git a/스택(자료구조).md b/스택(자료구조).md new file mode 100644 index 0000000..03fcac9 --- /dev/null +++ b/스택(자료구조).md @@ -0,0 +1,22 @@ +--- +title: 스택(Stack) +description: 자료구조 스택 +published: true +date: 2020-09-22T07:26:15.886Z +tags: 컴퓨터 +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-22T07:12:51.265Z +--- + +# 스택(Stack) + +LIFO(Last in first out) + +```rust +trait Stack{ + fn push(&mut self,item :T) -> Result<()>; + fn pop(&mut self) -> Result; + fn is_empty() -> bool; + fn size() -> usize; +} +``` \ No newline at end of file diff --git a/아벨군.md b/아벨군.md new file mode 100644 index 0000000..5d65de3 --- /dev/null +++ b/아벨군.md @@ -0,0 +1,17 @@ +--- +title: 아벨군(abelian group) +description: 아벨군 +published: true +date: 2023-02-11T12:45:33.712Z +tags: 대수, mathmatics +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-21T14:16:27.615Z +--- + +# 아벨군(abelian group) +아벨군은 교환법칙이 성립하는 [군](/군(수학))이다. 교환군(commutative group)이라고도 부른다. + +## 성질 + +아벨군$(G,+)$은 $\forall a,b \in G,a+b=b+a$이다. +어떤 아벨군은 $\Z_n$ 군의 곱으로 나타낼수 있다. \ No newline at end of file diff --git a/장수누리파크.md b/장수누리파크.md new file mode 100644 index 0000000..f985680 --- /dev/null +++ b/장수누리파크.md @@ -0,0 +1,31 @@ +--- +title: 장수누리파크 +description: 장수 누리파크 +published: true +date: 2020-10-01T09:16:25.638Z +tags: +editor: markdown +dateCreated: 2020-10-01T09:15:11.016Z +--- + +# 장수 누리파크 + +![장수누리파크_메인.jpg](/장수누리파크/장수누리파크_메인.jpg) + +4인승 자전거 탈 수 있음 + +10-01 월~금 무료. 주말 카페에서 시키면 무료로 이용 가능. + +오전 8시에 시작하고, 오후 5시에 마감한다. + +고추 잠자리원 + +![장수누리파크_고추잠자리.jpg](/장수누리파크/장수누리파크_고추잠자리.jpg) + +이 연못에 연들이 차있다. +황소 동상이 있다. + +중앙에는 꽃이 있다. + +의자가 이쁘다. + diff --git a/장수누리파크/장수누리파크_고추잠자리.jpg b/장수누리파크/장수누리파크_고추잠자리.jpg new file mode 100644 index 0000000..5fec6e8 Binary files /dev/null and b/장수누리파크/장수누리파크_고추잠자리.jpg differ diff --git a/장수누리파크/장수누리파크_메인.jpg b/장수누리파크/장수누리파크_메인.jpg new file mode 100644 index 0000000..16a3355 Binary files /dev/null and b/장수누리파크/장수누리파크_메인.jpg differ diff --git a/집합(수학).md b/집합(수학).md new file mode 100644 index 0000000..b92b2d9 --- /dev/null +++ b/집합(수학).md @@ -0,0 +1,31 @@ +--- +title: 집합(Set) +description: 수학에서의 집합 +published: true +date: 2020-09-24T10:41:33.571Z +tags: +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-22T11:24:09.319Z +--- + +# 집합(Set) +집합은 직관적으로 원소들의 모임이다. +집합을 구성하는 방법은 여러가지가 있다. +## 순진한 집합론(Naive set theory) + +직관적으로 집합(set)은 원소의 모임이고 함수는 원소를 다른 원소에 대응시키는 규칙이다. 집합의 예로, 모든 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$나 모든 정수의 집합 $\natnums$, 모든 실수의 집합 $\mathbb{R}$이 있다. 유한한 갯수의 원소를 가진 집합은 그 모든 원소를 괄호 안에 나열함으로서 나타낼 수 있다. 예를 들어, 0에서 8까지 포함하는 사이의 모든 짝수를 $\{0,2,4,6,8\}$라고 밝힐 수 있고 6의 양의 약수의 집합을 $\{1,2,3,6\}$ 이라고 쓸 수 있다. 이때 원소를 나열하는 순서는 상관없다. 예를 들면 $\{1,2,3,6\}=\{1,3,6,2\}$ 이다. + +좀더 형식적으로, "$x \in S$"라는 것은 "$x$가 집합 $S$의 원소(element)이다."나 "$x$가 집합 $S$의 구성원(member)이다.", "$x$는 $S$에 속한다."를 나타낸다. "$x \notin S$"는 $x$가 집합 $S$에 속하지 않는다는 것이다. 집합은 속하는 원소에 의해서만 결정되므로, 집합 S와 T가 같다는 것은 +$$\tag{1} S=T \iff \forall x( x \in S \iff x \in T ) $$ +로 정의된다. "S가 T에 속한다", "S가 T의 부분집합이다"라는 것은 S의 모든 원소가 T의 원소라는 것이고, 기호로는 +$$\tag{2} S\subset T \iff \forall x (x \in S \implies x \in T) $$ +라고 한다. 정의를 보면 +$$\tag{3} S \subset T \land T \subset S \iff S = T$$ +라는 것을 쉽게 알 수 있다. + +공집합이란 원소를 하나도 가지지 않은 집합을 말한다. (1)의 정의에 따라서 모든 공집합은 같다. 공집합은 기호로 $\emptyset$ 으로 쓴다. + +## ZFC 집합론(ZFC set theory) + + +러셀의 역설 \ No newline at end of file diff --git a/큐(자료구조).md b/큐(자료구조).md new file mode 100644 index 0000000..b321e2e --- /dev/null +++ b/큐(자료구조).md @@ -0,0 +1,86 @@ +--- +title: 큐(Queue) +description: 자료 구조 큐 +published: true +date: 2020-09-22T08:12:23.058Z +tags: 컴퓨터 +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-22T07:25:17.866Z +--- + +# 큐(Queue) + +FIFO(first in, first out) + +```rust +trait Queue{ + fn enqueue(&mut self,e: T) -> Result<()>; + fn dequeue(&mut self) -> Result; + fn is_empty() -> bool; + fn peek(&mut self) -> Result<&mut T>; + fn size(&self) -> usize; +} +``` + +## 선형큐(linear queue) +```diagram 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+``` + +### 구현 +```rust +const QUEUE_SIZE=128; +struct CircularQueue{ + arr:[T;QUEUE_SIZE], + first: u32, + near : u32 +}; +``` +isfull +```rust + +impl CircularQueue{ + fn new() -> CircularQueue{ + CircularQueue{ + [0;QUEUE_SIZE] + } + } + fn is_full(&self) -> bool{ + (self.rear + 1) % QUEUE_SIZE == self.first; + } +} +``` + +```rust +impl Queue for CircularQueue +{ + fn is_empty(&self){ + self.near == self.first + } + fn enqueue(&mut self, item: T) -> Result<()>{ + if self.is_full(){ + Error() + } + else{ + self.rear = (self.rear +1) % QUEUE_SIZE; + self.arr[self.rear + 1] = item; + Ok(()) + } + } + fn dequeue(&mut self) -> Result{ + if self.is_empty(){ + Error() + } + else{ + self.first = (self.first + 1) % QUEUE_SIZE; + Ok(self.arr[self.rear]) + } + } +} +``` \ No newline at end of file diff --git a/행렬.md b/행렬.md new file mode 100644 index 0000000..63fec7e --- /dev/null +++ b/행렬.md @@ -0,0 +1,58 @@ +--- +title: 행렬(Matrices) +description: 행렬 +published: true +date: 2020-09-22T14:00:28.667Z +tags: 선형대수, 대수, mathmatics +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-21T16:08:48.764Z +--- + +# 행렬(Matrices) + +행렬은 적당한 기저를 정해서 만들어진 순서쌍이다. + +## 정사각행렬(sqaure matrices) +$n \times n$ 꼴인 행렬이다. +## 대각행렬(diagonal matrix) +대각선에만 숫자가 있고, 나머지는 0인 행렬이다. +formal하게는, +$$A = \lbrack a_{ij}\rbrack (a_{ij}=0\text{ if } i\neq j)$$ +인 행렬이다. + +## 역행렬(Inverse matrices) + +행렬이 정사각행렬이면, 다음과 같은 조건을 만족하는 행렬$A$을 생각할 수 있다. +$$A^{-1}A= I = AA^{-1}$$ +이때, $A$를 invertible하다고 하고, $A^{-1}$을 A의 역행렬("$A$ invsere","the inverse of $A$")이라고 한다. + +성질들: +* 만약 $A$가 invertible하면, 선형연립방정식에 대해서 $Ax=b \iff x=A^{-1}b$. +* 행렬 A가 non-singular면 A는 invertible 하다. 반대로 A가 invertible하면 non-singular다. +* non-zero vector $\textbf x$에 대해서 $A\textbf x=0$이라면, A는 invertible하지 않다. +* 당연히 각각의 행렬 $A$에 대하여 각각의 역행렬$A^{-1}$은 유일하다. + +2x2 matrix $A =\begin{bmatrix}a&b\\ c& d\end{bmatrix}$의 역행렬 공식: +$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} +d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$$ + +$ad-bc$가 0이라면 역행렬은 존재하지 않는다. 여기서 $ad-bc$는 행렬 $A$의 [행렬식(Determinant)](/행렬식)이다. + +간단하게, [대각행렬](#대각행렬diagonal-matrix)의 역행렬은 +$$\begin{bmatrix} +d_1&0&\cdots &0 \\ +0 &d_2 &\cdots& 0 \\ +\vdots & \vdots&&\vdots\\ +0 &0&\cdots&d_n +\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} +\frac{1}{d_1}&0&\cdots &0 \\ +0 &\frac{1}{d_2} &\cdots& 0 \\ +\vdots & \vdots&&\vdots\\ +0 &0&\cdots&\frac{1}{d_n} +\end{bmatrix}$$ + +## 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination) + +$AX=I$인 $X$를 구하기 위해서 [기본 행 연산(Elementary operation)](/기본행연산)을 곱해서, +Upper traiangle form이나 echelon form을 만들어서 구한다. + diff --git a/행렬식.md b/행렬식.md new file mode 100644 index 0000000..4d600cc --- /dev/null +++ b/행렬식.md @@ -0,0 +1,34 @@ +--- +title: 행렬식(Determinants) +description: 행렬식 +published: true +date: 2020-09-23T13:57:53.743Z +tags: 선형대수, 대수 +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-22T14:00:24.726Z +--- + +# 행렬식(Determinant) + +## Multilinear and alternating functions +먼저 이중선형(bilinear)에 대해서 생각해보자. +이중선형함수는 각각 변수에 대해서 선형인, 두 변수를 받는 함수이다. 예를 들어 $V$가 벡터공간이고 $V^*$가 그 듀얼이라고 하면 $e:V^*\times V \rarr F, e(f,v)=f(v)$라는 evaluation 함수에 대해 생각해보자. + +$f$를 고정하면, +$$e(f,v_1k_1+v_2k_2)=e(f,v_1)k_1+e(f,v_2)k_2$$ +왜냐하면 $f$는 선형이기 때문이다. 반대로 $v$를 고정하면, +$$e(k_1f_1+k_2f_2,v)=k_1e(f_1,v)+k_2e(f_2,v)$$ +이다. 그러므로 함수 $e$는 이중선형이다. 일반적으로 $C$와 $D$가 두 $K$-모듈이라고 하자. 그러면 +### 이중선형(Bilinear) +$C\times D$를 오른쪽 $K$-모듈 $E$로 대응시키는 $K$-이중선형함수 $h$는 다음과 같은 property를 가진 함수 $h:C\times D \rarr E$이다. +$$h(c_1k_1+c_2k_2,v)=h(c_1,v)k_1+h(c_2,v)k_2\\ +h(c,d_1k_1+d_2k_2)=h(c,d_1)k_1+h(c,d_2)k_2$$ + + +scewed + +## Determinants of matrices + +## Cofactors and cramer's rule + +## Determinants of maps \ No newline at end of file diff --git a/환(수학).md b/환(수학).md new file mode 100644 index 0000000..43a422c --- /dev/null +++ b/환(수학).md @@ -0,0 +1,57 @@ +--- +title: 환(Ring) +description: 대수에서의 환 +published: true +date: 2020-09-23T12:14:24.004Z +tags: 대수 +editor: markdown +dateCreated: 2020-09-22T12:10:21.670Z +--- + +# 환(Ring) + +환(Ring) $R = (R,+,\cdot,1)$은 다음과 같은 두 이항연산과 원소 1있는 집합 $R$이다. +- $(R,+$)는 [아벨군](/아벨군)이다. +- $(R,\cdot,1)$은 [모노이드(Monoid)](/모노이드)이다. +- 곱은 분배적이다. + +마지막 조건은 뜻하는 것은 $a,b,c \in R$인 모든 세 원소가, +$$a(b+c)=ab+ac,\text{ }(a+b)c=ac+bc$$ +를 만족한다는 것이다. + +## 환 만들기(Constructions for rings) +한 환(Ring)으로부터 여러가지 환을 만들기. +### 부분환(Subrings) + +### Function ring + +환 R과 집합 X에 대해서 $R^X$의 덧셈과 곱셈을 +$$(f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x)$$ +라고 하면 환을 이룬다. + +### $\text{End}(A)$ + +[아벨군](/아벨군)의 endomorphism으로도 환을 만들 수 있다. +아벨군 $A$에 대해서, 그 $\text{End}(A)$를 원소로 하고 덧셈과 곱셈을 이렇게 정의하자. +$f,g\in End(A)$와 $a\in A$에 대해서, +$$(f+g)(a)=f(a)+g(a), (f\cdot g)(a)=f(g(a))$$ +라고 하면 이것이 환(Ring)이 된다. +#### 증명 + +## 잉여환(Quotient rings) + +## 정역과 체(Integral Domain and field) + +## 다항식환(polynomial rings) + +## 함수로서의 다항식(Polynomials as functions) + +## 나눗셈 알고리즘(The division algorithm) + +## 주아이디얼역(Principal ideal domains) + +## 소체(Prime fields) + +## 유클리드 알고리즘(The euclidean algorithm) + +## 교환잉여환(Commutative quotient rings) \ No newline at end of file