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docs: update math/벡터공간

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8
math/벡터공간.md
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@ -2,14 +2,14 @@
title: 벡터공간(Vector space) title: 벡터공간(Vector space)
description: 벡터공간 description: 벡터공간
published: true published: true
date: 2020-10-24T14:41:55.900Z date: 2023-02-11T18:24:09.589Z
tags: 선형대수, 대수 tags: 선형대수, 대수
editor: markdown editor: markdown
dateCreated: 2020-09-22T11:33:05.470Z dateCreated: 2020-09-22T11:33:05.470Z
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# 벡터공간(Vector space) # 벡터공간(Vector space)
벡터공간은 체 $F$위의 [모듈(Module)](/모듈(수학))이다. 벡터공간은 체 $F$위의 [모듈(Module)](/math/모듈(수학))이다.
어떤 벡터 리스트 $\textbf v=( v_1,v_2,\cdots, v_n)$가 있으면, 벡터 리스트를 의 일차결합을 생각할 수 있다. 어떤 벡터 리스트 $\textbf v=( v_1,v_2,\cdots, v_n)$가 있으면, 벡터 리스트를 의 일차결합을 생각할 수 있다.
@ -40,7 +40,7 @@ $L_{\textbf v}:F^n\rightarrow V$, $L_{\textbf v}(\xi)=v_1\xi_1+\dots+v_n\xi_n$
- 리스트 $\textbf v$가 $V$에서 선형독립(lineary independence)이다 $\Leftrightarrow$ $L_{\textbf v}$는 monomorphism이다. - 리스트 $\textbf v$가 $V$에서 선형독립(lineary independence)이다 $\Leftrightarrow$ $L_{\textbf v}$는 monomorphism이다.
- 리스트 $\textbf v$가 $V$의 기저(basis)이다. $\Leftrightarrow$ $L_{\textbf v}$는 isomorphism이다. - 리스트 $\textbf v$가 $V$의 기저(basis)이다. $\Leftrightarrow$ $L_{\textbf v}$는 isomorphism이다.
#### 증명 #### 증명
단순하게 $L_{\textbf v}$는 선형조합이므로 [선형변환](/선형변환)이다. 자세하게는 리스트 ${\bf \xi, \eta}$에 대해서, 단순하게 $L_{\textbf v}$는 선형조합이므로 [선형변환](/math/선형변환)이다. 자세하게는 리스트 ${\bf \xi, \eta}$에 대해서,
$$L_{\textbf{v}}({\bf \xi + \eta})=\sum_i v_i(\xi_i+\eta_i)=\sum_iv_i\xi_i+\sum_iv_i\eta_i=L_{\textbf{v}}({\bf \xi})+L_{\bf v}(\eta)$$ $$L_{\textbf{v}}({\bf \xi + \eta})=\sum_i v_i(\xi_i+\eta_i)=\sum_iv_i\xi_i+\sum_iv_i\eta_i=L_{\textbf{v}}({\bf \xi})+L_{\bf v}(\eta)$$
이고, 스칼라 $\kappa$에 대해, 이고, 스칼라 $\kappa$에 대해,
$$L_{\textbf{v}}({\bf \xi}\kappa)=\sum_iv_i(\xi_i\kappa)=\sum_i(v_i\xi_i)\kappa=L_{\textbf{v}}({\bf \xi})\kappa$$ $$L_{\textbf{v}}({\bf \xi}\kappa)=\sum_iv_i(\xi_i\kappa)=\sum_i(v_i\xi_i)\kappa=L_{\textbf{v}}({\bf \xi})\kappa$$
@ -55,7 +55,7 @@ $\xi_n$는 기저가 $\bf b$인 $v$의 좌표(coordinates of $\bf v$ relative to
이때 리스트 $\textbf b: n\rightarrow V$는 벡터공간 $V$의 기저(basis)이다. 이때 리스트 $\textbf b: n\rightarrow V$는 벡터공간 $V$의 기저(basis)이다.
### Theorem 2. ### Theorem 2.
주장 1(Proposition 1)에서 $L_b:F^n\cong V$임으로, $F^n$는 [자유모듈](/모듈(수학)#자유모듈free-modules)(free module)이다. 그러므로 $L_b(\epsilon_i)=b(i)$라고 할 수 있다. 주장 1(Proposition 1)에서 $L_b:F^n\cong V$임으로, $F^n$는 [자유모듈](/math/모듈(수학)#자유모듈free-modules)(free module)이다. 그러므로 $L_b(\epsilon_i)=b(i)$라고 할 수 있다.
기저(basis)가 $b$인 벡터공간(vector space) $V$은 $b$의 벡터들이 자유생성원(free generator)인 자유 F-모듈(free F-module)이다. 기저(basis)가 $b$인 벡터공간(vector space) $V$은 $b$의 벡터들이 자유생성원(free generator)인 자유 F-모듈(free F-module)이다.