2.2 KiB
2.2 KiB
| title | description | published | date | tags | editor | dateCreated |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 군(수학)(Group) | Group | true | 2020-09-26T14:22:04.517Z | 대수 | markdown | 2020-09-22T07:04:46.800Z |
군(Group)
군은 집합 G과 집합 G위에 다음과 같은 이항연산 G \times G \rarr G가 있는 것을 말한다:
- 결합법칙이 성립한다.
\forall a \in G, ua = a = au인u\in G가 존재한다.\forall a \in G, aa^{-1}=a^{-1}a=u인a^{-1}\in G가 존재한다.
이때 u를 항등원(identity element)라고 부르고 a^{-1}을 a의 역원(inverse of a)라고 한다.
|G|는 G의 원소 수를 말하며, 군의 위수(Order)라고 부른다.
군의 예
- 정수의 집합과 이항연산 +에 대해서,
(\Z,+)는 군이다. - 집합
\{-1,1\}과 이항연산\cdot에 대해서(\{1,-1\},\cdot)는 군이다.
군의 사상(Morphism of group)
군 (G,\cdot)의 사상은 군(H,*)에 대해 다음과 같은 조건을 만족하는 함수 f:G\rarr H이다.
f(a\cdot b)=f(a)* f(b)순환군(Cyclic group)
어떤 군 G에 대해서,
\{a^n|a\in G,n \in \N\}를 순환군이라고 한다. 이때 a를 군의 생성원(generator)이라고 한다.
부분군(Subgroup)
집합 H가 있어서, H \subset G이고 H가 G의 연산에 대해 군이면 H를 G의 부분군이라고 한다.
삽입사상 i:H\rarr G가 있다.
관계로서 군의 표현과 자유군(Groups presentation as defining relation and free group)
aphabet이 있다. concat 연산이 있다.이것이 자유구.ㄴ
대칭군S_n과 교환군A_n (Symmetric and Alternating groups)
f:n\rarr n를 원소로 가지는 군이다. (1 2 3 4 5) 라는 열이 있을 때, (2 1 3 4 5) 같이 치환하는 연산들로 이루어진것.
S_n/\Z_2\cong A_n
변환군(Transformation groups)
대칭군의 일반화.
잉여(Cosets)
군의 원소 여럿을 묶기. 묶은 것으로 연산하기.
h:G\rarr H, h \in \hom(G,H)를 생각하자.
핵과 상(Kernel and Image)
\ker(h)=\lbrace a\in G|h(a)=0 \rbrace
\text{img}(a)
정규부분군(Normal subgroup)
g\in G,n \in N, gng^{-1}\in N