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환(Ring)	대수에서의 환	true	2020-09-23T12:14:24.004Z	대수	markdown	2020-09-22T12:10:21.670Z

환(Ring)

환(Ring) R = (R,+,\cdot,1)은 다음과 같은 두 이항연산과 원소 1있는 집합 R이다.

• (R,+)는 아벨군이다.
• (R,\cdot,1)은 모노이드(Monoid)이다.
• 곱은 분배적이다.

마지막 조건은 뜻하는 것은 a,b,c \in R인 모든 세 원소가,

a(b+c)=ab+ac,\text{		}(a+b)c=ac+bc

를 만족한다는 것이다.

환 만들기(Constructions for rings)

한 환(Ring)으로부터 여러가지 환을 만들기.

부분환(Subrings)

Function ring

환 R과 집합 X에 대해서 R^X의 덧셈과 곱셈을

(f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x)

라고 하면 환을 이룬다.

\text{End}(A)

아벨군의 endomorphism으로도 환을 만들 수 있다. 아벨군 A에 대해서, 그 \text{End}(A)를 원소로 하고 덧셈과 곱셈을 이렇게 정의하자. f,g\in End(A)와 a\in A에 대해서,

(f+g)(a)=f(a)+g(a), (f\cdot g)(a)=f(g(a))

라고 하면 이것이 환(Ring)이 된다.

증명

잉여환(Quotient rings)

정역과 체(Integral Domain and field)

다항식환(polynomial rings)

함수로서의 다항식(Polynomials as functions)

나눗셈 알고리즘(The division algorithm)

주아이디얼역(Principal ideal domains)

소체(Prime fields)

유클리드 알고리즘(The euclidean algorithm)

교환잉여환(Commutative quotient rings)