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집합(Set)	수학에서의 집합	true	2020-09-24T10:41:33.571Z		markdown	2020-09-22T11:24:09.319Z

집합(Set)

집합은 직관적으로 원소들의 모임이다. 집합을 구성하는 방법은 여러가지가 있다.

순진한 집합론(Naive set theory)

직관적으로 집합(set)은 원소의 모임이고 함수는 원소를 다른 원소에 대응시키는 규칙이다. 집합의 예로, 모든 유리수의 집합 \mathbb{Q}나 모든 정수의 집합 \natnums, 모든 실수의 집합 \mathbb{R}이 있다. 유한한 갯수의 원소를 가진 집합은 그 모든 원소를 괄호 안에 나열함으로서 나타낼 수 있다. 예를 들어, 0에서 8까지 포함하는 사이의 모든 짝수를 \{0,2,4,6,8\}라고 밝힐 수 있고 6의 양의 약수의 집합을 \{1,2,3,6\} 이라고 쓸 수 있다. 이때 원소를 나열하는 순서는 상관없다. 예를 들면 \{1,2,3,6\}=\{1,3,6,2\} 이다.

좀더 형식적으로, "x \in S"라는 것은 "x가 집합 S의 원소(element)이다."나 "x가 집합 S의 구성원(member)이다.", "x는 S에 속한다."를 나타낸다. "x \notin S"는 x가 집합 S에 속하지 않는다는 것이다. 집합은 속하는 원소에 의해서만 결정되므로, 집합 S와 T가 같다는 것은

\tag{1} S=T \iff \forall x( x \in S  \iff x \in T ) 

로 정의된다. "S가 T에 속한다", "S가 T의 부분집합이다"라는 것은 S의 모든 원소가 T의 원소라는 것이고, 기호로는

\tag{2} S\subset T \iff \forall x (x \in S \implies x \in T) 

라고 한다. 정의를 보면

\tag{3} S \subset T \land T \subset S \iff S = T

라는 것을 쉽게 알 수 있다.

공집합이란 원소를 하나도 가지지 않은 집합을 말한다. (1)의 정의에 따라서 모든 공집합은 같다. 공집합은 기호로 \emptyset 으로 쓴다.

ZFC 집합론(ZFC set theory)

러셀의 역설