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| 군(수학)(Group) | Group | true | 2023-02-11T18:22:35.971Z | 대수 | markdown | 2020-09-22T07:04:46.800Z |
군(Group)
군은 집합 G과 집합 G위에 다음과 같은 이항연산 $G \times G \rarr G$가 있는 것을 말한다:
- 결합법칙이 성립한다.
- $\forall a \in G, ua = a = au$인 $u\in G$가 존재한다.
- $\forall a \in G, aa^{-1}=a^{-1}a=u$인 $a^{-1}\in G$가 존재한다.
이때 $u$를 항등원(identity element)라고 부르고 $a^{-1}$을 a의 역원(inverse of a)라고 한다. $|G|$는 $G$의 원소 수를 말하며, 군의 위수(Order)라고 부른다.
군의 예
- 정수의 집합과 이항연산 +에 대해서, $(\Z,+)$는 군이다.
- 집합 ${-1,1}$과 이항연산 $\cdot$에 대해서
(\{1,-1\},\cdot)는 군이다.
군의 사상(Morphism of group)
군 $(G,\cdot)$의 사상은 군$(H,*)$에 대해 다음과 같은 조건을 만족하는 함수 $f:G\rarr H$이다.
f(a\cdot b)=f(a)* f(b)순환군(Cyclic group)
어떤 군 $G$에 대해서,
\{a^n|a\in G,n \in \N\}를 순환군이라고 한다. 이때 $a$를 군의 생성원(generator)이라고 한다.
부분군(Subgroup)
집합 $H$가 있어서, $H \subset G$이고 H가 G의 연산에 대해 군이면 H를 G의 부분군이라고 한다. 삽입사상 $i:H\rarr G$가 있다.
관계로서 군의 표현과 자유군(Groups presentation as defining relation and free group)
어떤 alphabet이 있다고 하자. 이위에 concat 연산을 정의하자. 그럼 이것이 자유군이다.
대칭군$S_n$과 교환군A_n (Symmetric and Alternating groups)
$f:n\rarr n$를 원소로 가지는 군이다. (1 2 3 4 5) 라는 열이 있을 때, (2 1 3 4 5) 같이 치환하는 연산들로 이루어진것.
S_n/\Z_2\cong A_n
변환군(Transformation groups)
대칭군의 일반화.
잉여(Cosets)
군의 원소 여럿을 묶기. 묶은 것으로 연산하기. $h:G\rarr H, h \in \hom(G,H)$를 생각하자.
핵과 상(Kernel and Image)
$\ker(h)=\lbrace a\in G|h(a)=0 \rbrace$
\text{img}(a)
정규부분군(Normal subgroup)
g\in G,n \in N, gng^{-1}\in N