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title: 군(수학)(Group)
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description: Group
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date: 2020-09-26T14:22:04.517Z
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tags: 대수
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editor: markdown
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dateCreated: 2020-09-22T07:04:46.800Z
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# 군(Group)
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군은 [집합](/집합(수학)) G과 [집합](/집합(수학)) G위에 다음과 같은 이항연산 $G \times G \rarr G$가 있는 것을 말한다:
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- 결합법칙이 성립한다.
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- $\forall a \in G, ua = a = au$인 $u\in G$가 존재한다.
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- $\forall a \in G, aa^{-1}=a^{-1}a=u$인 $a^{-1}\in G$가 존재한다.
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이때 $u$를 항등원(identity element)라고 부르고 $a^{-1}$을 a의 역원(inverse of a)라고 한다.
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$|G|$는 $G$의 원소 수를 말하며, 군의 위수(Order)라고 부른다.
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## 군의 예
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- 정수의 집합과 이항연산 +에 대해서, $(\Z,+)$는 군이다.
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- 집합 $\{-1,1\}$과 이항연산 $\cdot$에 대해서 $(\{1,-1\},\cdot)$ 는 군이다.
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## 군의 사상(Morphism of group)
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군 $(G,\cdot)$의 사상은 군$(H,*)$에 대해 다음과 같은 조건을 만족하는 함수 $f:G\rarr H$이다.
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$$f(a\cdot b)=f(a)* f(b)$$
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## 순환군(Cyclic group)
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어떤 군 $G$에 대해서,
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$$\{a^n|a\in G,n \in \N\}$$
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를 순환군이라고 한다. 이때 $a$를 군의 생성원(generator)이라고 한다.
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## 부분군(Subgroup)
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[집합](/집합(수학)) $H$가 있어서, $H \subset G$이고 H가 G의 연산에 대해 군이면 H를 G의 부분군이라고 한다.
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삽입사상 $i:H\rarr G$가 있다.
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## 관계로서 군의 표현과 자유군(Groups presentation as defining relation and free group)
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aphabet이 있다. concat 연산이 있다.이것이 자유구.ㄴ
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## 대칭군$S_n$과 교환군$A_n$ (Symmetric and Alternating groups)
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$f:n\rarr n$를 원소로 가지는 군이다. (1 2 3 4 5) 라는 열이 있을 때, (2 1 3 4 5) 같이 치환하는 연산들로 이루어진것.
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$S_n/\Z_2\cong A_n$
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## 변환군(Transformation groups)
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대칭군의 일반화.
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## 잉여(Cosets)
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군의 원소 여럿을 묶기. 묶은 것으로 연산하기.
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$h:G\rarr H, h \in \hom(G,H)$를 생각하자.
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## 핵과 상(Kernel and Image)
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$\ker(h)=\lbrace a\in G|h(a)=0 \rbrace$
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$\text{img}(a)$
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### 정규부분군(Normal subgroup)
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$g\in G,n \in N, gng^{-1}\in N$
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## 잉여군(Quotient Groups)
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