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| 환(Ring) | 대수에서의 환 | true | 2020-09-23T12:14:24.004Z | 대수 | markdown | 2020-09-22T12:10:21.670Z |
환(Ring)
환(Ring) $R = (R,+,\cdot,1)$은 다음과 같은 두 이항연산과 원소 1있는 집합 $R$이다.
(R,+)는 아벨군이다.- $(R,\cdot,1)$은 모노이드(Monoid)이다.
- 곱은 분배적이다.
마지막 조건은 뜻하는 것은 $a,b,c \in R$인 모든 세 원소가,
a(b+c)=ab+ac,\text{ }(a+b)c=ac+bc를 만족한다는 것이다.
환 만들기(Constructions for rings)
한 환(Ring)으로부터 여러가지 환을 만들기.
부분환(Subrings)
Function ring
환 R과 집합 X에 대해서 $R^X$의 덧셈과 곱셈을
(f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x)라고 하면 환을 이룬다.
\text{End}(A)
아벨군의 endomorphism으로도 환을 만들 수 있다. 아벨군 $A$에 대해서, 그 $\text{End}(A)$를 원소로 하고 덧셈과 곱셈을 이렇게 정의하자. $f,g\in End(A)$와 $a\in A$에 대해서,
(f+g)(a)=f(a)+g(a), (f\cdot g)(a)=f(g(a))라고 하면 이것이 환(Ring)이 된다.